“本科阶段的泛函分析我们以学习线性泛函分析分析为主，非线性泛函分析一般要等到研究生阶段才开始学习。线性泛函分析主要内容，归纳起来，就是我们常说的一王一后以及四大天王。一王一后就是贝尔纲定理和hahnbanach定理，四大天王分别是开映射定理，闭图像定理， banachsteha定理，闭值域，azur定理……”
这是一堂复习课，那老师也不多话，直接在课堂上开讲“今天，我们就从一王一后以及四大天王入手，梳理本学期所学过的相关知识点，包括闭算子的谱分析，对称算子的自伴延，算子半群理论，线性单调算子，算子代数……”
庞学林在座位上打了个哈欠，他居住的那个招待所隔音效果一般，昨晚没睡好，这几天又一直在赶路，他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音，语气不温不火，虽然讲的内容没什么问题，但还是让人感觉犯困。
庞学林不知不觉闭上了眼。
也不知过了多久，庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。
他有些茫然地睁开眼，便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。
讲台上，那位秃顶教授正朝自己所在的方向说话“那位穿军绿大衣的同学，上课时间睡得这么香，看样子你应该什么都会了吧，你过来过来，帮我解一解这道题……”
庞学林环顾四周，然后有些茫然地指了指自己“老师，我吗？”
“对，说的就是你！快点上来，帮我把黑板上这道题解了……”
“老师，我不是……”
“你上不上来？不上来的话就给我出去，不过你这门课也别想考了。”
“这……好吧！”
庞学林犹豫了片刻，还是选择起身。
他原本想着等下课之后找这个教授套套话，问一下几大期刊的地址。
现在如果直接出去，那可真把人家给得罪了。
庞学林走上讲台，众人这才看清楚他那一身装扮。
一身破旧的军大衣，里面隐约可以看到黑色的棉布袄，布袄领子口的线头掉了，露出小半截棉花。
他脚上踩着一双黑布鞋，但几天赶路下来，原本浆洗干净的布鞋早就变脏兮兮不成样了。
这个年代，大学生还是天之骄子，就算家里再穷，也有几身用来对换的体面衣服。
如果不是庞学林本身气质形象都不错，就他这副衣着打扮，早就被人当做是农村出来的盲流了。
“这人是哪班的啊？以前怎么没见过，这身打扮够可以啊！”
“老王的课都敢睡觉，这家伙胆子真大。”
“我估计他已经放弃临时抱佛脚的念头了，泛函分析太t难了，老王讲课口音又重，我都犯困想睡觉了……”
……
台下的学生们议论纷纷，一个个好奇地看着庞学林。
王崇庆看着庞学林的装扮，皱了皱眉，说道“同学，这道题，你来解吧！”
庞学林点了点头，看着黑板上的题目。
设e， f是两个banach空间，令 a:da?e→f为一个闭算子，且 daˉe。求证da?ˉσf′，ff′da?ˉσf′，ff′。
其中 a?是a的伴随算子，f′是f的对偶空间，σf′，f为f′上的弱拓扑， da?ˉσf′，f表示 da?在弱拓扑σf′，f下的闭包。
将题目浏览完，庞学林几乎没怎么思考，直接开始在下面写下答案。
结论 1设f是e的子向量空间满足fˉ≠e则存在 f∈e'不为 0，使得f，x0，?x∈f。
结论2设?:e′→r是线性映射，且对拓扑σe′，e连续，则存在 x∈e使得?ff，x，?f∈e′。
证明设?是f′上对拓扑σf′，f连续的线性泛函，在da?上取值为0。由结论1，为证弱拓扑下的稠密性，只需证明?≡0。
由结论 2，存在x∈f使得……
庞学林的书写速度很快，整个证明过程几乎没怎么停顿，只用了不到两分钟，就完成了答题工作。
“老师，答完了，应该没什么问题吧？”
王崇庆有些出神，这道题在泛函分析中，算的上是压轴大题了，对本科生而言，有一定难度。
他原本都准备等庞学林答不出来的时候，再好好教训他一番，可没想到到这家伙的基础似乎还不错，竟然眨眼间就给出了证明。
无论是证明思路还是过程，都简洁明了，几乎无懈可击。
台下，也响起了学生们的议论声。
“这家伙到底是谁啊，深藏不漏呀！”
“这道题我一直没什么思路，没想到他竟然这么快就给解出来了。”
“看样子我们数学系牛人还挺多的。”
……
不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。
王崇庆脸色微沉，上课睡觉，就算成绩再好也不行，他可不想轻易放过这家伙。
他想了想，说道“这位同学，看来你的基础不错，那你就给大家讲讲，你对泛函分析这门课的理解吧。”
泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程，这也是它难学的原因，就算让一位博士上台，也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。
王崇庆嘴角微微翘起，他可不相信一个本科生有这样的能耐。
“老师，你确定……让我来讲课？”
庞学林笑了起来。
“确定！”
王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异，不过他还是点了点头。
庞学林道“既然如此，那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”
“众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、fredhol， hillterra 和hadaard nue， frechet 和 riesz 在抽象空间上的工作以及最后，hahn 和banach关于对偶这个概念的研究……”